题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x1，y1）．若P，Q在x轴上的射影分别为P1、Q1，
=λ
，求λ的值．
【答案】分析：（Ⅰ）由函数f（x）在（0，1]上为增函数，则导数大于等于零在（0，1]上恒成立，再转化为最值法求解．
（Ⅱ）由已知可得函数为奇函数，可求得a，c，再由“在点P（x，f（x））处的切线为l”确定切线方程，与函数f（x）联立得x3+bx-[（3x2+b）（x-x）+y]=0．再由y=f（x）=x3+bx，消元解得x．再代入
，求解结果．
解答：解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x2+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x2+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于
在（0，1]上恒成立．
又∵
，
故当且仅当
时取等号，而
，∴a的最小值为
．（6分）
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx，（7分）∴f'（x）=3x2+b．
∵切点为P（x，y），其中y=f（x），
则切线l的方程为：y=（3x2+b）（x-x）+y（8分）
由
，得x3+bx-[（3x2+b）（x-x）+y]=0．
又y=f（x）=x3+bx，∴x3-x3+b（x-x）-（3x2+b）（x-x）=0，
∴（x-x）（x2+xx-2x2）=0，∴（x-x）2（x+2x）=0，∴x=x或x=-2x，
由题意知，x≠0从而x1=-2x．
∵
，
∴x1=λx，
∴λ=-2．（12分）
点评：本题主要通过单调性的应用来考查恒成立问题，这类问题往往又要转化为单调性求新函数最值来解决，还考查了导数的几何意义，来解决直线与曲线的位置关系．
（Ⅱ）由已知可得函数为奇函数，可求得a，c，再由“在点P（x，f（x））处的切线为l”确定切线方程，与函数f（x）联立得x3+bx-[（3x2+b）（x-x）+y]=0．再由y=f（x）=x3+bx，消元解得x．再代入
，求解结果．解答：解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x2+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x2+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于
在（0，1]上恒成立．又∵
，故当且仅当
时取等号，而
，∴a的最小值为
．（6分）（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx，（7分）∴f'（x）=3x2+b．
∵切点为P（x，y），其中y=f（x），
则切线l的方程为：y=（3x2+b）（x-x）+y（8分）
由
，得x3+bx-[（3x2+b）（x-x）+y]=0．又y=f（x）=x3+bx，∴x3-x3+b（x-x）-（3x2+b）（x-x）=0，
∴（x-x）（x2+xx-2x2）=0，∴（x-x）2（x+2x）=0，∴x=x或x=-2x，
由题意知，x≠0从而x1=-2x．
∵
，∴x1=λx，
∴λ=-2．（12分）
点评：本题主要通过单调性的应用来考查恒成立问题，这类问题往往又要转化为单调性求新函数最值来解决，还考查了导数的几何意义，来解决直线与曲线的位置关系．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|