设等比数列{an}的前n项的和为Sn.公比为q．(1)若S4.S12.S8成等差数列.求证:a10.a18.a14成等差数列,(2)若Sm.Sk.St(m.k.t为互不相等的正整数)成等差数列.试问数列{an}中是否存在不同的三项成等差数列?若存在.写出两组这三项,若不存在.请说明理由,(3)若q为大于1的正整数．试问{an}中是否存在一项ak.使得ak恰好可以表示为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设等比数列{a_n}的前n项的和为S_n，公比为q（q≠1）．
（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差数列，求证：a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差数列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{a_n}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；
（3）若q为大于1的正整数．试问{a_n}中是否存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．

分析：（1）根据S₄，S₁₂，S₈成等差数列，q≠1，可得S₁₂=S₄+S₈，化简可得2q⁸=1+q⁴，进而可以证明a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差数列；
（2）根据S_m，S_k，S_t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，可得2S_k=S_m+S_t，化简可得2a1qk=a1qm+a1qt，从而可得a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差数列，即可得出结论；
（3）假设存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a_k=a_n+a_n+1，可得k＞n，q^k-n=1+q
，从而可得结论．

解答：解：（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差数列，q≠1，则S₁₂=S₄+S₈，
∴

2a1(1-q12)

1-q

a1(1-q4)

1-q

a1(1-q8)

1-q

∴2q⁸=1+q⁴
∴a₁₀+a₁₄=a1q9+a1q13=a1q9(1+q4)=a1q9•2q8=2a₁₈，
∴a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差数列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，则2S_k=S_m+S_t，
∴

2a1(1-qk)

1-q

a1(1-qm)

1-q

a1(1-qt)

1-q

∴2q^k=q^m+q^t
∴2a1qk=a1qm+a1qt
∴a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差数列，
∴a_m+2，a_k+2，a_t+2成等差数列；
（3）假设存在一项a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a_k=a_n+a_n+1，
则a1qk-1=a1qn-1+a1qn
∵a₁≠0，q＞1
∴q^k-1=q^n-1+qⁿ
∴q^k=qⁿ+qⁿ⁺¹
∵qⁿ⁺¹＞1
∴q^k＞qⁿ
∴k＞n，q^k-n=1+q
当q为偶数时，q^k-n为偶数，而1+q为奇数，假设不成立；
当q为奇数时，q^k-n为奇数，而1+q为偶数，假设也不成立，
综上，{a_n}中不存在a_k，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续两项的和．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．