Question

【题目】已知函数.

（1）求的图像在点处的切线方程；

（2）求在区间上的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求出,再求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性可得当时， 递增；当时递减；可得所以， .

试题解析：（1），

所以

则.又，所以的图象在点处的切线方程为.

（2）由（1）知.

因为与都是区间上的增函数，所以是上的增函数.

又，所以当时， ，即，此时递增；

当时，即，此时递减；

又， ， .

所以， .

所以在区间的取值范围为

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.