Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点.

（i）若，求的值；

（ii）若点的坐标为，求证：为定值.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）（ii）见解析

【解析】分析：（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，

（2）（i）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，

（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．

详解：（1）因为满足，由离心率为，所以，

即，代入得.

又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，

即，即，，以上各式联立解得，

则椭圆方程为

（2）（i）直线与轴交点为，与轴交点为，

联立消去得，

，

设，则

又，由得

解得，由得

（ii）由（i）知，

所以

，

，

，

为定值

所以为定值.