Question

在△ABC中，b=4，A=

π

3

，面积S=2

3

（1）求BC边的长度；   
（2）求值：

sin2( A 4 + π 4 )+ccos2B

1 tan C 2 +tan C 2

．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面积公式表示出△ABC的面积S，把b和sinA的值代入即可求出c的值，然后由b和c的值以及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，即为BC边的长度；
（2）由a，sinA及b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B的范围求出B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，把求出的A，B及C的度数代入所求的式子中，分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同角三角函数间的平方关系及二倍角的正弦函数化简，分子利用特殊角的三角函数值化简，即可求出值．

解答：解：（1）在△ABC中，由b=4，sinA=sin

π

3

=

3

2

，
得到S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×c×

3

2

=2

3

，解得c=2，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：a²=16+4-2×2×4×

1

2

=12，
解得：a=2

3

，即BC=2

3

；
（2）根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

2 3

3 2

=

4

sinB

，解得sinB=1，
由B∈（0，π），得到B=

π

2

，C=

π

6

，
则

sin2( A 4 + π 4 )+ccos2B

1 tan C 2 +tan C 2

=

sin2 π 3  +cosπ

cos C 2 sin C 2 + sin C 2 cos C 2

=

1

2

sinC（

3

4

-1）=-

1

16

．

点评：此题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及法则的特征，灵活选用合适的法则，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．