题目内容
如图，在△ABC中，B=| π |
| 4 |
| ||
| 5 |
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）若
| BA |
| BC |
分析：（Ⅰ）由α为三角形BAD中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC与cos∠BAC的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC变形为sin[π-（
+2α）]，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC的值；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinC与sin∠BAC的值代入得出AB=
BC，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．
| π |
| 4 |
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinC与sin∠BAC的值代入得出AB=
7
| ||
| 8 |
解答：解：（Ⅰ）∵α∈（0，
），sinα
，
∴cosα=
=
，
∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×
×
=
，
cos∠BAC=cos2α=2cos2α-1=2×
-1=
，
∴sinC=sin[π-（
+2α）]=sin（
+2α）=
（cos2α+sin2α）=
×（
+
）=
；
（Ⅱ）由正弦定理，得
=
，
即
=
，
∴AB=
BC，
又
•
=28，
∴AB×BC×
=28，
由上两式解得：BC=4
，
由
=
，
得：
=
，
∴AC=5．
| π |
| 2 |
| ||
| 5 |
∴cosα=
| 1-sin2α |
2
| ||
| 5 |
∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
cos∠BAC=cos2α=2cos2α-1=2×
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴sinC=sin[π-（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
7
| ||
| 10 |
（Ⅱ）由正弦定理，得
| AB |
| sinC |
| BC |
| sin∠BAC |
即
| AB | ||||
|
| BC | ||
|
∴AB=
7
| ||
| 8 |
又
| BA |
| BC |
∴AB×BC×
| ||
| 2 |
由上两式解得：BC=4
| 2 |
由
| AC |
| sinB |
| BC |
| sin∠BAC |
得：
| AC | ||||
|
| BC | ||
|
∴AC=5．
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，
如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在△ABC中，设
如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．
如图，在△ABC中，已知