Question

（2013•临沂二模）双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（　　）

• A．

  2

• B．1+

  2

• C．2

  2

• D．2+

  2

Answer 1

分析：利用条件可得A（

p

2

，p）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上，

p

2

=

a2+b2

=c，从而可得（c，2c）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上，代入化简，即可得到结论．

解答：解：∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，
∴A（

p

2

，p）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上，

p

2

=

a2+b2

=c
∴（c，2c）在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上，
∴

c2

a2

-

4c2

b2

=1
∴c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e2=

6±4 2

2

=3±2

2

∵e＞1
∴e=1+

2

故选B．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．