Question

（2013•临沂二模）已知x∈R，ω＞0，

u

=（1，sin（ωx+

π

2

）），

v

=（cos²ωx，

3

sinωx）函数f（x）=

u

•

v

-

1

2

的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依据题意，利用两个向量的数量积公式、三角函数的恒等变换化简可得函数f（x）=

u

•

v

的解析式为sin（2ωx+

π

6

）．再由函数的最小正周期T=

2π

2ω

=π，求得ω的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=sin（2ωx+

π

6

），根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）依据题意，函数f（x）=

u

•

v

=（1，sin（ωx+

π

2

））•（cos²ωx，

3

sinωx）
=cos²ωx+

3

sinωx•cosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx+

π

6

）．
∵ω＞0，∴函数的最小正周期T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
故有-

1

2

≤sin（2ωx+

π

6

）≤1，
所以函数y=f（x）在[0，

π

2

]上的值域是[-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．