Question

【题目】定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2 ， 且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若 ，则实数m的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，1]
B.
C.[1，+∞）
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）+2x﹣ ， g′（x）=f′（x）+2﹣x，当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．
∴当x≤1时，g（x）为减函数，
而g（2﹣x）=f（2﹣x）+2（2﹣x）﹣ ，
∴f（x）+f（2﹣x）=g（x）﹣2x+ +g（2﹣x）﹣2（2﹣x）+
=g（x）+g（2﹣x）+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1．
∴g（x）+g（2﹣x）=3．
则g（x）关于（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，
由 ，得f（m）+2m ≥f（1﹣m）+2（1﹣m）﹣ ，
即g（m）≥g（1﹣m），
∴m≤1﹣m，即m ．
∴实数m的取值范围是（﹣∞， ]．
故选：D．
令g（x）=f（x）+2x﹣ ，求得g（x）+g（2﹣x）=3，则g（x）关于（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，再由导数可知g（x）在R上为减函数，化 为g（m）≥g（1﹣m），利用单调性求解．