Question

若函数f(x)=

1+cos2x

4sin( π 2 -x)

-asin

x

2

cos(7π-

x

2

)
（Ⅰ）若a=

3

，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为-2，试确定常数a的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数公式，将f（x）化成一角一函数形式，再利用三角函数性质求出单调增区间．
（2）利用三角函数公式，将f（x）化成一角一函数形式，再利用三角函数性质求出最小值，解关于a的方程即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=

3

时，f（x）=

1+cos2x

4cosx

+

3

sin

x

2

cos

x

2

=

2cos2x

4cosx

+

3

sin

x

2

cos

x

2

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（x+

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
f（x）的单调增区间[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）f（x）=

1

2

cosx+

1

2

asinx=

1+a2 4

sin（x+φ），
f（x）的最小值为-2，即-

1+a2 4

=-2，
解得a=±

15

．

点评：本题考查三角函数公式的应用，三角函数性质，方程思想．考查转化计算能力．