Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，则AD的长为（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  2

  2

Answer 1

分析：在面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，说明∠B₁EC₁为二面角B₁-DC-C₁的平面角为60°，通过面积求AD的长．

解答：解：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥A₁C₁，
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
如图，在面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，
由三垂线定理可知∠B₁EC₁为二面角B₁-DC-C₁的平面角，
∴∠B₁EC₁=60°．
由B₁C₁=2知，C₁E=

2 3

3

设AD=x，则DC=

x2+1

．
∵△DC₁C₁的面积为1，
∴

1

2

．

x2+1

．

2 3

3

=1，
解得x=

2

即AD=

2

故选A

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．