Question

椭圆与双曲线之间有许多类似的性质：
P是椭圆+=1（a＞b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为b²，类比，P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为________．

Answer 1

b²
分析：类似椭圆的性质，将面积表达式的“+”号改成“-”即得b²．设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，根据三角形面积公式可表示出△PF₁F₂的面积，由余弦定理可求得r₁r₂的表达式，进而求得S与b和tanθ的关系式，原式得证．
解答：类似椭圆的性质：P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为 b²．
证明：设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
则S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，
由余弦定理有
（2c）²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos2θ=（r₁+r₂）²-2r₁r₂-2r₁r₂cos2θ=（2a）²-2r₁r₂（1+cos2θ），
于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²-4c²=4b²．
所以r₁r₂=．
这样即有S=•sin2θ=b² =b²．
故答案为：b²．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便．如本题，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则S=r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，问题即获解决．