Question

已知函数f(x)=sin(x-

3π

2

)cos(

π

2

-x)+cosxcos(π-x)
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等式简化为f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，由此能求出函数f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[

π

4

，

3π

4

]，知2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，由此能求出函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=sin(x-

3π

2

)cos(

π

2

-x)+cosxcos(π-x)=cosxsinx-cos²x
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴2x-

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴当2x+

π

4

=

π

2

时，f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

取最大值为

2 -1

2

；
当2x+

π

4

=

5π

4

时，f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

取最小值为-1．

点评：本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角恒等式和诱导公式的合理运用．