题目内容

解答题

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)

建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(2)

如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：．

答案：
解析：

(1)

解：以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

又∵，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|

∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1，1)∴点B的坐标为(－1，－1)将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，则求得椭圆方程为

(2)

证：由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为－k，因此直线PC、QC的方程分别为y＝k(x－1)＋1，y＝－k(x－1)＋1由得：(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0(*)∵点C(1，1)在椭圆上，∴x＝1是方程(*)的一个根，∴xP?＝即xP＝同理xQ＝∴直线PQ的斜率为又∵，∴．


练习册系列答案
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本题A、B、C三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
A．（不等式选讲选做题）若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集为∅，则m的取值范围为
（-∞，
1
3
]
（-∞，
1
3
]
．
B．（几何证明选讲选做题）如图所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=
3
2
，则线段CD的长为
4
3
4
3
．
C．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，ρ（2，
π
3
）的直角坐标是
(1，
3
)
(1，
3
)
．

如图所示，已知圆的方程是(x－1)2＋y2＝1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，以A，B为焦点的椭圆C过P，Q两点．

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(2)当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．

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(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．

(2)若PA＝1，且BC边上有且只有一点Q，使得PQ⊥QD．求这时二面角Q－PD－A的大小．

如图所示，已知x，y满足不等式组求z＝20－2y＋x的最大值和最小值．

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