题目内容

在双曲线-=1上支上有不同的三点A(x1,y1)、B(x0,6)、C(x2,y2)与焦点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y2的值；（2）求证：线段AC的中垂线经过某一定点，并求出这个定点坐标.

思路解析：双曲线上一点与焦点的连线问题，常考虑焦半径比较简单.

（1）解法一：∵BF==3,|AF|=,又∵A（x1,y1）在双曲线上，∴x12=.∴|AF|2=x12+(y1-5)2=+(y1-5)2=(5y1-12)2,由A、B、C在双曲线的同一支上，即上半支上.∴y1≥2,5y1-12＞0.∴AF=(5y1-12).同理可求得CF=(5y2-12),由于AF+CF=2BF,∴(5y1-12)+(5y2-12)=6.∴y1+y2=12.

解法二：∵双曲线的实半轴长为a=2，虚半轴b=，半焦距c=5，与焦点F(0,5)对应的准线方程为y=.由双曲线第二定义知，=,

∵y1≥2,∴y1-＞0.∴|AF|=(y1-).

同理CF=·(y1-),|BF|=(6-)=3.

∵|AF|+|CF|=2|BF|,∴y1+y2=12.

解法三：双曲线的离心率e==,|AF|=|ey1-a|=ey1-a,|CF|=|ey2-a|=ey2-a,|BF|=×6-2=3，又∵|AF|+|CF|=2|BF|=6，

∴e(y1+y2)-2a=6.∴y1+y2=12.

（2）证明：线段AC中点M(,6),kAC=,∴线段AC的垂直平分线方程为y-6=(x-)=x-.                                 ①

∵-=1,-=1,两式相减,得x12-x22=(y12-y22),

又∵y1+y2=12,∴x12-x22=13(y1-y2).代入①,

得y-6=x+ .

∴y-=x.∴恒过点(0,).


练习册系列答案
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（2013•镇江一模）设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为
5
3
5
3
．
设双曲线xy=1的两支为C1，C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P（-1，-1）在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
已知双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的左右焦点分别为F1，F2，定点A（1，3），点P在双曲线的右支上运动，则|PF1|+|PA|的最小值等于
11
11
．
设F1，F2分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P满足：①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形；②直线PF1与圆x2+y2=
1
4
a2相切，则此双曲线的离心率为
 
．

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