题目内容

已知向量 $数学公式$ ，函数 $数学公式$
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，π]时，f（x）的最大值为4，求k的值．

解：由 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =2cos²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx=1+cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x+k=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1+k．
（Ⅰ）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
从而可得函数的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[0，π]，2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
故sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[-1，1]，
f（x）的最大值为4，所以1+1+k=4，
所以k=2．
分析：直接利用向量的数量积求出函数的表达式，通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（Ⅰ）利用正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间即可．
（Ⅱ）结合x的范围，求出2x+ $\text{[math]}$ 的范围，然后利用函数的最大值，求出k的值即可．
点评：本题考查向量的数量积，二倍角公式两角和的正弦函数，三角函数的基本性质，考查计算能力．