题目内容

已知向量 $数学公式$ （m∈R），且 $数学公式$ ．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在 $数学公式$ 上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意 $数学公式$ ，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
消去m，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即f（x）的最小值为1，此时 $\text{[math]}$
∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是 $\text{[math]}$
（2）∵f（x）＞t-9x+1，即 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 单调递增，y=9x单调递增，
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
∴ $\text{[math]}$ 的最小值为1，
为要 $\text{[math]}$ 恒成立，只要t+1＜1，
∴t＜0为所求．
分析：（1）根据所给的向量之间的关系，写出关于三角函数的关系式，消元得到函数式，整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围．
（2）本题是一个函数的恒成立问题，写出关系式，分离参数，要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想，即只要这个变量小于函数的最小值即可．
点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现．