题目内容

14．某学校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核我合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为$\frac{4}{5}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．

分析 （1）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D．由此利用P（D）=1-P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$），能求出在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率．
（2）由题意，得X的可能取值是3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D．
则P（D）=1-P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=1-P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）
=1-$\frac{1}{5}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$
=$\frac{44}{45}$．
（2）由题意，得X的可能取值是3，4，5，6．
因为P（X=3）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{45}$，
P（X=4）=P（A$\overline{B}$$\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{8}{45}$，
P（X=5）=P（$\overline{A}BC$）+P（A$\overline{B}$C）+P（AB$\overline{C}$）=$\frac{4}{9}$，
P（X=6）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=$\frac{16}{45}$，
所以X的分布列为：

X3456
P$\frac{1}{45}$$\frac{8}{45}$$\frac{4}{9}$$\frac{16}{45}$
E（X）=3×$\frac{1}{45}$+4×$\frac{8}{45}$+5×$\frac{4}{9}$+6×$\frac{16}{45}$=$\frac{77}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．

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