Question

已知f(x)=

1

1+x

，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₁₂=a₁₄，则a₁₃+a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

分析：由题意，a_n+2=

1

1+an

，再分奇数项、偶数项，求出a₁₃、a₂₀₁₄，即可求得结论．

解答：解：由题意，a_n+2=

1

1+an

．
∵a₁=1，∴a₃=

1

2

，∴a₅=

2

3

，a₇=

3

5

，a₉=

5

8

，a₁₁=

8

13

，a₁₃=

13

21

，
∵a₁₂=a₁₄，∴a₁₂=

1

1+a12

，且偶数项均相等．
∵a₁₂＞0，∴a₁₂=

5 -1

2

，∴a₂₀₁₄=

5 -1

2

，
∴a₁₃+a₂₀₁₄=

13

21

+

5 -1

2

．
故答案为：

13

21

+

5 -1

2

．

点评：本题考查数列与函数的结合，考查学生的计算能力，解题的关键是确定a₁₃、a₂₀₁₄．