Question

（2012•上海）已知f(x)=

1

1+x

，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，则a₂₀+a₁₁的值是

13 5 +3

26

．

Answer 1

分析：根据f(x)=

1

1+x

，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），可确定a₁=1，a3=

1

2

，a5=

2

3

，a₇=

3

5

，a9=

5

8

，a11=

8

13

，利用a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，可得a₂₀₁₀=

5 -1

2

（负值舍去），依次往前推得到a₂₀=

5 -1

2

，由此可得结论．

解答：解：∵f(x)=

1

1+x

，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），
∴a₁=1，a3=

1

2

，a5=

2

3

，a₇=

3

5

，a9=

5

8

，a11=

8

13

∵a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，
∴

1

1+a2010

=a2012
∴a₂₀₁₀=

5 -1

2

（负值舍去），由a₂₀₁₀=

1

1+a2008

得a₂₀₀₈=

5 -1

2

…
依次往前推得到a₂₀=

5 -1

2

∴a₂₀+a₁₁=

13 5 +3

26

故答案为：

13 5 +3

26

点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a_n+2=f（a_n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．