Question

已知f(x)=

1

1+x

，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，则a₂₀+a₁₁的值是（　　）

• A．

  5 5 +2

  26

• B．

  4

  13

• C．

  3+5 3

  26

• D．

  3+13 5

  26

Answer 1

分析：先确定a_n+2=

1

1+an

，再分奇数项、偶数项，即可求得结论．

解答：解：∵f(x)=

1

1+x

，a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=

1

1+an

∵a₁=1，∴a₃=

1

2

，∴a₅=

2

3

，a₇=

3

5

，a₉=

5

8

，a₁₁=

8

13

，
∵a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，∴a₂₀₁₀=

1

1+a2010

，且偶数项均相等
∵a₂₀₁₀＞0，∴a₂₀₁₀=

5 -1

2

，∴a₂₀=

5 -1

2

，
∴a₂₀+a₁₁=

5 -1

2

+

8

13

=

3+13 5

26

故选D．

点评：本题考查数列与函数的结合，考查学生的计算能力，解题的关键是确定a_n+2=

1

1+an

．