题目内容

设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：

①且；

②且．（其中为坐标原点）

（I）求向量及向量的坐标；

（II）设，求的通项公式并求的最小值；

（III）对于（Ⅱ）中的，设数列，为的前n项和，证明：对所有都有．

 

【答案】

（I），

（II），最小值为2

（III）证明见解析

【解析】（I）

；

（II）；

即的最小值为

（III）当n=1，2，3，···时，=1，0，1，0，····

从而，又

当时，

 

练习册系列答案
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设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．
（I）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（II）过点（0，m）作直线l与曲线C交于A，B两点，若|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|，求m的取值范围．
设向量
i
，
j
为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量
a
=(x+3)
i
+y
j
，
b
=(x-3)
i
+y
j
，且|
a
|-|
b
|=2，则满足上述条件的点P（x，y）的轨迹方程是
 
．
设
i
，
j
分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，
OP
=3cosθ
i
+3sinθ
j
，θ∈(0，
π
2
)，
OQ
=-
i
．若用α来表示
OP
与
OQ
的夹角，则α等于
π-θ
π-θ
．
设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
i
、
j
，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
①
OA1
=16
j
且
An-1A
n=
i
（n∈N*，n≥2）；
②
OB1
=
i
+
1
2
j
且
Bn-1Bn
=-
1
n(n+1)
j
(n∈N*，n≥2)．
（1）求
OAn
及
OBn
的坐标；
（2）设an=
OAn
•
OBn
，求an的通项公式；
（3）对于（Ⅱ）中的an，是否存在最大的自然数M，对所有n∈N*都有an≥M成立？若存在，求M值；若不存在，说明理由．
设
i
、
j
为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量
p
=(x+m)
i
+y
j
，
q
=(x-m)
i
+y
j
，（x，y∈R，m≥2），且|
p
|-|
q
|=4．
（1）求动点M（x，y）的轨迹方程？并指出方程所表示的曲线；
（2）已知点A（0，1}，设直线l：y=
1
2
x-3与点M的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得
AB
•
AC
=
9
2
？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

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