Question

【题目】已知函数

（1）求函数的极值；

（2）求证： ；

（3），若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】试题分析：（1）由题意，得，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；

（2）由（1）知的极小值即为最小值，推得，进而可证得结论；

（3）由题意的解析式，求得，令，求得，利用得存在，使，且在上递减， 在上递增，求得函数的的最小值，再转化为函数，利用导数的单调性，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（1）由可得，函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小值；

（2）根据（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以，

所以有

（3） ∴

令，则，∴在上递增

∵，当时， ∴存在，使，且在上递减， 在上递增

∵ ∴，即

∵对于任意的，恒有成立

∴ ∴

∴ ∴ ∴，又，

∵ ∴，令， ，显然在单增，而， ，

∴ ∴.