Question

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：函数f（x）=+k 在定义域为[-2，+∞）内是增函数，由②可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出 a和 b
是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0在[-2，+∞）上的两个根．故有，
解此不等式求得 k 的范围即为所求．
解答：解：函数f（x）=+k 的定义域为[-2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，
∴+k=a，且 +k=b，∴a+2=（a-k）²，且 b+2=（b-k）²，且k≤a，k≤b．
即 ，故 a和 b 是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0在[-2，+∞）上的两个根．
令 g（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
则有 ，解得 a≥k＞-，那么k的取值范围是（-，a]，
故答案为：（-，a]．
点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0
在[-2，+∞）上的两个根，是解题的难点，属于基础题．