Question

已知

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．则函数f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|的最小值是（　　）

• A、-

  1

  2

• B、-1
• C、-

  3

  2

• D、-2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），可得

a

•

b

=cos2x.|

a

|=1，|

b

|=1．又x∈[0，

π

2

]．再利用数量积的运算性质和倍角公式可得f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

．再利用二次函数的性质即可得出．

解答： 解：∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos(

3x

2

+

x

2

)=cos2x．
|

a

|=

cos2 3x 2 +sin2 3x 2

=1，同理可得|

b

|=1．
又x∈[0，

π

2

]．
∴函数f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cos2x-

a 2+ b 2+2 a • b

=cos2x-

2+2cos2x

=cos2x-

4cos2x

=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1
=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

．
当cosx=

1

2

即x=

π

3

时，f（x）取得最小值是-

3

2

．
故选：C．

点评：本题考查了数量积的运算性质、两角和差的余弦公式、倍角公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．