Question

如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的

中点.

(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;

(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.

Answer 1

 (1)解:取CD的中点G,

连结MG,NG.

因为四边形ABCD,DCEF为正方形,

且边长为2,

所以MG⊥CD,MG=2,NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCEF,

所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.

所以MN==.

(2)证明:假设直线ME与BN共面,

则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.

由题意知两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.

又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,

这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.

所以ME与BN不共面,它们是异面直线.