题目内容

已知函数f(x)=5
3
cos2x+
3
sin2x-4sinxcosx.
（1）当x∈R时，求f（x）的最小值；
（2）若
π
4
≤x≤
7π
24
，求f（x）的单调区间．
分析：（1）利用二倍角的余弦公式将三角函数中平方降幂，再利用二倍角的正弦公式及公式asinx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)
化简三角函数为y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函数的有界性求出最小值．
（2）求出2x+
π
6
范围，利用整体代换的思想，令2x+
π
6
在单减区间上，求出x的范围即为单调递减区间．
解答：解：（1）f(x)=5
3
cos2x+
3
sin2x-4sinxcosx=
5
3
(cos2x+1)
2
+
3
(1-cos2x)
2
-2sin2x=3
3
+2
3
cos2x-2sin2x
=3
3
+4cos(2x+
π
6
)
当x∈R时，f（x）的最小值为3
3
-4．
（2）∵
π
4
≤x≤
7π
24
∴
π
2
≤2x≤
7π
12
，
∴
2π
3
≤2x+
π
6
≤
3π
4
且[
2π
3
，
3π
4
]?[0，π]
∴
π
4
≤x≤
7π
24
时，f（x）单调减区间为{x|
π
4
≤x≤
7π
24
}．
点评：本题考查三角函数的二倍角公式将三角函数的平方降幂、利用公式asinx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)化简三角函数、利用整体代换的思想求单调区间．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=5-
6x
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{bn}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①bn＜bn+1，n∈N*；②当a为{bn}中的任意一项时，{an}中必有某一项的值为1．
已知函数f(x)=
(5-2a)x-1(x＜1)
ax(x≥1)
（a＞0，且a≠1）满足对任意x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0成立，则实数a的最小值是
 
．
已知函数f(x)=5-4sin2(
π
4
+x)+2
3
cos2x，且给定条件p：x＜
π
4
或x＞
π
2
．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；     
（2）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（3）若条件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
（2010•崇明县二模）已知函数f(x)=5-
6
x
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若对于n∈N*，都有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，都有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{bn}满足b1=
3
2
，bn+1=
6
5-bn
．求证：当a为数列{bn}中的任意一项时，数列{an}必有相应一项的值为1．
精英家教网已知函数f(x)=
5-2x，x＞0
2，  x=0
-x-1， x＜0
，
（Ⅰ）求f（f（-3））及f（1-log0.253）的值；
（Ⅱ）当-5≤x＜3时，在坐标系中作出函数f（x）的图象并求值域．

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