Question

已知函数f(x)=5-

6

x

，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b_n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②当a为{b_n}中的任意一项时，{a_n}中必有某一项的值为1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n，我们不难根据a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一个关于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由a_n+1＞a_n，我们不难根据a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一个关于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知条件进行验证，可得结果．
（3）我们可以根据已知条件中数列的形式，构造出满足条件的无穷数列，然后再结合数列的通项公式进行证明．

解答：解：（1）由题意得a_n+1=a_n=a，∴a=

5a -6

a

，得a=2或a=3，符合题意
（2）设a_n+1＞a_n，即

5an-6

an

＞an，解得a_n＜0或2＜a_n＜3
∴要使a₂＞a₁成立，则a₁＜0或2＜a₁＜3
①当a₁＜0时，
a2=

5a1-6

a1

=5-

6

a1

＞5，
而a3-a2=

5a2-6

a2

-a2=

-(a2-2)(a2-3)

a2

＜0，
即a₃＜a₂，不满足题意．
②当2＜a₁＜3时，
a2=5-

6

a1

∈(2，3)，a3=5-

6

a2

∈(2，3)，
a_n∈（2，3），
此时，an+1-an=

5an-6

an

-an=

-(an-2)(an-3)

an

＞0，
∴a_n+1＞a_n，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）构造数列{b_n}：b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

，
下面证明满足要求．
此时bn=5-

6

bn+1

，不妨设a取b_n，
那么a2=5-

6

a1

=5-

6

bn

=bn-1，a3=5-

6

a2

=5-

6

bn-1

=bn-2，
an=5-

6

an-1

=5-

6

b2

=b1=

3

2

，an+1=5-

6

an

=5-

6

b1

=1.
由b1=

3

2

＜2，
可得bn+1=

6

5-bn

＜2
因为bn+1-bn=

6

5-bn

-bn=

(bn-2)(bn-3)

5-bn

＞0，
所以b_n＜b_n+1
又b_n＜2≠5，所以数列{b_n}是无穷数列，
因此构造的数列{b_n}符合题意．

点评：已知函数f(x)=5-

6

x

，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．当a_n+1=a_n成立时，可以用方程思想解决问题，当a_n+1＞a_n成立时，可以用不等式思想，求实数a的取值范围；这其实是函数、方程、不等式之间的相互转换，也是数列的函数特征最好的体现．