题目内容
【题目】已知
，函数
有两个不同的极值点
，
．
（1）求
的取值范围；
（2）证明：
．
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）求函数
的定义域
，以及导数
，将问题转化为导数方程
，转化为二次方程
在上有两个不等的实根，再分析
、对称轴以及二次函数
在
处函数值的正负，列出有关
的不等式组解出即可；
（2）由
、
为二次方程的两根，列出韦达定理，再将韦达定理代入代数式
，经过化简得出关于的函数，并令
，
转化为关于
的函数，再利用导数结合单调性证明结论成立。
（1）
，函数
定义域：
．，
，
函数
有两个不同的极值点，img src="https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/28/06/0c1e6116/SYS202005280601105383817422_DA/SYS202005280601105383817422_DA.012.png" width="18" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />．对于
中的
应满足①②③三个条件：
，①，△
，②
，③
由①②③可得的取值范围：，
（2）证明：
，
得：
，．
，
，
令，则
，
将其令为
即：
，则有：
，
，
，
在定义域是单调递减的函数，
（4）
，
在定义域也是单调递减的函数，
（4）
．
即：
得证．
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