Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数有两个零点，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可利用导数法来进行求解，由，转换为，即将问题转化为曲线与直线有两交点，求的取值范围，构造函数，求函数的单调区间，再求函数的最值，从而问题可得解；

（Ⅱ）由题意，将问题转化为：当时，不等式在上恒成立，可构造函数，并证明其最大值在区间上成立即可.

试题解析：（Ⅰ）令，∴；

令，∴，

令，解得，令，解得，

则函数在上单调递增，在上单调递减，∴.

要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，

则，即实数的取值范围为.

（Ⅱ）∵，∴.

设， ，∴，

设，∴，则在上单调递增，

又， ，

∴，使得，即，∴.

当时， ， ；当时， ， ；

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴ .

设，∴，

当时， 恒成立，则在上单调递增，

∴，即当时， ，

∴当时，关于的不等式在上恒成立.