Question

如图，两矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1.

(1) 求证：MN丄平面ABCD

(2) 求线段AB的长；

(3) 求二面角A—DE—B的平面角的正弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF＝AB

EB⊥AB  ∴EB⊥平面ABCD    又MN∥EB     

∴MN⊥面ABCD．                                              （3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角    ∴∠EDB＝30^o

又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90^o    ∴DE＝

连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角  ∴∠DEA＝45^o （5分）

在Rt△DAE中，∠DAE＝90^o    ∴AE＝DE    cos∠DEA＝2

在Rt△ABE中，．                  （7分）

 

 

（Ⅲ）方法一：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH

∵AD⊥平面ABEF    BO面ABEF

∴BO⊥平面ADE    ∴OH为BH在平面ADE内的射影

∴BH⊥DE   即∠BHO为所求二面角的平面角  （9分）

在Rt△ABE中，BO＝

在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝

∴sin∠BHO＝

【解析】略