题目内容

设抛物线与抛物线在它们一个交点处的切线互相垂直，求与之间的关系。

解析:

设抛物线与抛物线在它们一个交点为,即--------①,又∵、在交点处的切线互相垂直，∴，即-----②，∴①+②得：，∴。

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（1）如图1所示，请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y²=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A，B两点，则在x轴上存在定点M（-1，0），使直线MF始终是∠AMB的平分线；
（2）如图2所示，对于椭圆

+y2=1，设它的左焦点为F；请写出一个类似地性质；并证明其真假．

设有抛物线C：y=-x²+

x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．

(本题满分14分)设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点P在第一象限.

（1）求m的值，以及P的坐标；

（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；

（3）设C上有一点R，其横坐标为，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求的取值范围.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.

（1）如图1所示，请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y²=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A，B两点，则在x轴上存在定点M（-1，0），使直线MF始终是∠AMB的平分线；
（2）如图2所示，对于椭圆 $数学公式$ ，设它的左焦点为F；请写出一个类似地性质；并证明其真假．