Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，且．
（1）求该正四棱柱的体积；
（2）若E为线段A₁D的中点，求异面直线BE与AA₁所成角的大小．

Answer 1

解：（1）如图
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴AA₁⊥AD，故，…（3分）
∴正四棱柱的体积为（2²）×3=12． …（6分）
（2）设G是棱AD中点，连GE，GB，在△A₁AD中，
∵E，G分别为线段A₁D，AD的中点，
∴EG∥A₁A，且，
∴∠GEB就是异面直线AA₁与BE所成的角． …（8分）
∵A₁A⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA₁⊥GB，
又EG∥A₁A，∴EG⊥BG，…（10分）
∵，
∴，故．
所以异面直线AA₁与BE所成角的大小为． …（12分）
分析：（1）由题意可得AA₁的长度，代入柱体的体积公式可得答案；（2）设G是棱AD中点，可得∠GEB就是异面直线AA₁与BE所成的角，由三角形的知识可得，由反正切函数可得角的大小．
点评：本题考查棱柱的体积，以及异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题．