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公差d≠0的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
4
是a
3
与a
7
的等比中项，且S
8
=32，求S
10
的大小。
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解：由题意，得
，
解得：
，
所以，
。
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（Ⅰ）已知函数
f(x)=
x
x+1
．数列{a
n
}满足：a
n
＞0，a
1
=1，且
a
n+1
=f(
a
n
)
，记数列{b
n
}的前n项和为S
n
，且
S
n
=
2
2
[
1
a
n
+(
2
+1)n]
．求数列{b
n
}的通项公式；并判断b
4
+b
6
是否仍为数列{b
n
}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{c
n
}为首项是c
1
，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{c
n
}中任意不同两项之和仍为数列{c
n
}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c
1
=md”．
公差d≠0的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知
a
1
=2+
2
，
S
3
=12+3
2
．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式a
n
及其前n项和S
n
；
（Ⅱ）记
b
n
=
a
n
-
2
，若自然数η
1
，η
2
，…，η
k
，…满足1≤η
1
＜η
2
＜…＜η
k
＜…，并且
b
η
1
，
b
η
2
，…，
b
η
_
，…
成等比数列，其中η
1
=1，η
2
=3，求η
k
（用k表示）；
（Ⅲ）记
c
n
=
S
n
n
，试问：在数列{c
n
}中是否存在三项c
r
，c
s
，c
t
（r＜s＜t，r，s，t∈N
*
）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
5、由公差d≠0的等差数列a
1
，a
2
，…，a
n
，…组成一个数列a
1
+a
3
，a
2
+a
4
，a
3
+a
5
，…，下列说法正确的是（ ）
A、该新数列不是等差数列
B、是公差为d的等差数列
C、是公差为2d的等差数列
D、是公差为3d的等差数列
若{a
n
}是公差d≠0的等差数列，通项为a
n
，{b
n
}是公比q≠1的等比数列，已知a
1
=b
1
=1，且a
2
=b
2
，a
6
=b
3
．
（1）求d和q．
（2）是否存在常数a，b，使对一切n∈N
*
都有a
n
=log
a
b
n
+b成立，若存在求之，若不存在说明理由．
记公差d≠0的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
=2+
2
，S
3
=12+3
2
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式a
n
及前n项和S
n
；
（2）记b
n
=a
n
-
2
，若自然数n
1
，n
2
，…，n
k
，…满足1≤n
1
＜n
2
＜…＜n
k
＜…，并且b
n
1
，b
n
2
，…，b
n
k
，…成等比数列，其中n
1
=1，n
2
=3，求n
k
（用k表示）；
（3）试问：在数列{a
n
}中是否存在三项a
r
，a
s
，a
t
（r＜s＜t，r，s，t∈N
*
）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
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