Question

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记bn=an-

2

，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记cn=

Sn

n

，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a₁代入S₃，求得d，进而根据等差数列的通项公式和求和公式求得a_n及其前n项和S_n．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入bn=an-

2

求得b_n，进而求得

b3

b1

，即数列bη1，bη2，，bη_，的公比，根据等比数列的通项公式求得bηk，进而根据bηk=2ηk求得η_k．
（Ⅲ）根据（1）中求得的S_n求得c_n，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则c_s²=c_r•c_t，把c_n代入整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s进而看当2s-r-t≠0时看

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是否有可能相等，当2s-r-t=0时，r和t的关系，进而判断假设是否成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a1=2+

2

，S3=3a1+3d=12+3

2

，∴d=2
所以an=2n+

2

，Sn=n2+(

2

+1)n
（Ⅱ）由题意，b_n=2n，首项b₁=2，又数列bη1，bη2，，bη_，
的公比q=

b3

b1

=3
∴bηk=2•3k-1，又bηk=2ηk，∴η_k=3^k-1
（Ⅲ）易知cn=n+

2

+1，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则c_s²=c_r•c_t，
即[s+(

2

+1)]2=[r+(

2

+1)][t+(

2

+1)]，
整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s
①当2s-r-t≠0时，

2

=

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

，
∵r，s，t∈N^*，∴

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是
有理数，这与

2

为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s²-2s=0，从而

s2=rt 2s-r-t=0

，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项c_r，c_s，c_t

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．