Question

下列结论正确的有

④⑦

①y=x+

1

x

的最小值为2    ②当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2   ③y=

x2+3

x2+2

的最小值为2
④当x＞0时，

x

+

1

x

≥2       ⑤y=sin2x+

1

sin2x

，x∈(0，

π

2

)的最小值为2
⑥当x≥2时，x+

1

x

的最小值为2       ⑦y=x2+

1

x2

的最小值为2．

Answer 1

分析：利用均值定理求最值要注意满足三个条件即一“正”；两个正数的算术平均数和几何平均数；二“定”：和是定值或积是定值；三“等号”：即等号成立的条件要具备，分别用这三个条件检验各选项即可

解答：解：若x＜0则y=x+

1

x

＜0，故①错误；若0＜x＜1，则lgx＜0，lgx+

1

lgx

＜ 0，故②错误；y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，由于

x2+2

=

1

x2+2

无解，故其最小值不为2，故③错误；当x＞0时，

x

+

1

x

≥2

x • 1 x

=2，故④正确；y=sin2x+

1

sin2x

x∈(0，

π

2

)，由于sin²x=

1

sin2x

在x∈(0，

π

2

)上无解，故其最小值不为2，故⑤错误；当x≥2时，x=

1

x

无解，故其最小值不为2，故⑥错误；y=x2+

1

x2

≥2

x2• 1 x2

=2，故⑦正确
故答案为④⑦

点评：本题考察了均值定理求最值的方法，解题时一定要牢记口诀一“正”二“定”三“等号”，并能熟练运用这些条件判断解题的正误