Question

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N且点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））；若△ABC 的内切圆圆心为D，且

.

DA

+

.

DC

=λ

.

DB

(λ∈R)，则下列结论正确的有

①③④

．（填上你认为正确的命题的序号）
①△ABC必是等腰三角形； 
②△ABC必是直角三角形；
③满足条件的实数λ有3个； 
④满足条件的函数有l2个．

Answer 1

分析：由

DA

+

DC

=λ

DB

(λ∈R)，说明△ABC是等腰三角形，f（1）=f（3）；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用

解答：解：在AC上取中点E，则可得

DA

+

DC

=2

DE

且DE平分AC
由

DA

+

DC

=λ

DB

(λ∈R)，
∴B，D，E三点共线
∵BD是∠ABC的平分线
∴BE垂直平分AC，DA=DC
∴△ABC是等腰三角形，且BA=BC，故①正确②不正确
必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；
①当f（1）=f（3）=1时，f（2）=2、3、4，三种情况．
②f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．
③f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．
④f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．
因而满足条件的函数f（x）有12种．故④正确
由以上情况的讨论可知，A，B，C的坐标情况如下
A（1，1），B（2，2），C（3，1），AB=

2

，AC=2；A（1，1），B（2，3），C（3，1），AB=

5

，AC=2；A（1，1），B（2，4），C（3，1），AB=

10

，AC=2；A（1，2），B（2，1），C（3，2），AB=

2

，AC=2；A （1，2），B（2，3），C（3，2），
AB=

2

，AC=2；A（1，2），B（2，4），C（3，2），AB=

10

，AC=2；A（1，3），B（2，2），C（3，3），AB=

2

，AC=2；
A（1，3），B（2，1），C（3，3），AB=

5

，AC=2；A（1，3），B（2，4），C（3，3），AB=

2

，AC=2；A（1，4），B（2，2），C（3，4），AB=

5

，AC=2；A（1，4），B（2，3），C（3，4），AB=

2

，AC=2；A（1，4），B（2，1），C（3，4），AB=

10

，AC=2
∵BE垂直平分AC，DA=DC
∴

DA

+

DC

=2

DE

由角平分线性质可得，

|BD|

|DE|

=

|AB|

|AE|

=

2|AB|

|AC|

，根据以上情况可求得λ有3个情况，故③正确
故答案为：①③④

点评：本题主要考查了向量、三角形的转化，函数的定义；△ABC是等腰三角形，且BA=BC得到f（1）=f（3），是解本题的关键．