Question

已知函数在点处的切线的斜率为．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）证明：函数的图象恒在直线的下方（点除外）；

（Ⅲ）设点，当时，直线的斜率恒大于，试求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为，又因为函数在点处的切线斜率为，所以，所以；                  

（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为：，

令，

则，又因为，         

所以当时，；当时，，

所以函数在单调递增，在单调递减， 

所以当时，取得最大值，

所以，所以，

即函数的图象恒在其切线的下方（切点除外）；

（Ⅲ）因为，所以当时，，

即，.                                                   

令，

所以在单调递增，
所以在恒成立，

所以在恒成立，所以.