Question

经过点A(-3，-

3

2

)，倾斜角为α的直线与圆x²+y²=25相交于BC两点
（1）求弦BC的长
（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程
（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）根据A坐标与倾斜角表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据垂径定理，勾股定理即可求出BC的长；
（2）若A为BC中点，得出A垂直于BC，求出直线OA的斜率，确定出直线的斜率，即可确定出BC方程；
（3）由（1）表示出的弦长列出方程求出方程的解得到tanα的值，即可确定出BC方程．

解答：解：（1）根据题意得：直线方程为y+

3

2

=k（x+3），其中k=tanα，即2kx-2y+6k-3=0，
∵圆心到直线的距离d=

|6k-3|

4k2+4

，r=5，
∴|BC|=2

r2-d2

=

64k2+36k+91 k2+1

；
（2）当A为BC中点时，OA⊥BC，
∵直线OA的斜率为

- 3 2

-3

=

1

2

，
∴直线BC斜率为-2，即直线BC方程为4x+2y+15=0；
（3）当|BC|=8，即

64k2+36k+91 k2+1

=8，
解得：k=-

3

4

，
则直线BC方程为3x+4y+15=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．