Question

17．设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为-$\frac{11}{15}$．

Answer 1

分析 根据题目给出的等式f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．

解答 解：因为f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），所以|lg（a+1）|=|lg（-$\frac{b+1}{b+2}$+1）|=|lg（$\frac{1}{b+2}$）|=|lg（b+2）|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$＞1．
从而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$]|=lg[6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$]．
又f（10a+6b+21）=4lg2，
所以lg[6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$]=4lg2，
故6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$=16．解得b=-$\frac{1}{3}$或b=-1（舍去）．
把b=-$\frac{1}{3}$代入（a+1）（b+2）=1解得a=-$\frac{2}{5}$．
所以 a=-$\frac{2}{5}$，b=-$\frac{1}{3}$．
a+b=-$\frac{11}{15}$．
故答案为：-$\frac{11}{15}$．

点评 本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．