Question

已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2

(1)求PC的长；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；

(3)求证:二面角B—PC—D为直二面角. 

Answer 1

(1) (2) PC与BD所成角的余弦值为 (3)证明略

解析:

  因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=. 

∴PC=.

(2)解: 如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.

∵CE=BD=，且PE=

∴由余弦定理得

cosPCE=

∴PC与BD所成角的余弦值为.

(3）证明:设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，

则GF∥BC∥AD，且GF=BC=1=AD，

从而四边形ADFG为平行四边形，

又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，

即ADFG为矩形，DF⊥FG.

在△PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，

∴DF⊥PC

从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，

即二面角B—PC—D为直二面角.?

另法（向量法）: (略)