Question

已知点P（x，y）在以A（1，3），B（4，2）为端点的线段上，则Z=

3x+y

x+4y

的取值范围

[

9

13

，

7

6

]

．

Answer 1

分析：如图所示，由Z=

3x+y

x+4y

化为y=

3-z

4z-1

x，令y=kx，则k_OB≤k≤k_OA，进而求出z的取值范围．

解答：解：如图所示，
由Z=

3x+y

x+4y

化为y=

3-z

4z-1

x，令y=kx，
∵k_OA=3，kOB=

2

4

=

1

2

．
∴

1

2

≤k≤3，
∴

1

2

≤

3-z

4z-1

≤3，解得

9

13

≤z≤

7

6

．
故答案为[

9

13

，

7

6

]．

点评：本题考查了把要求的问题转化为斜率的取值范围问题，属于中档题．