Question

【题目】已知六面体如图所示，平面，，，，，，，，分别是棱，上的点，且满足.

（1）求证：平面平面；

（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

解法一：（1）连接，设，根据相似三角形以及等分线段性质，即可证明，连接，证明是平行四边形，得到，由两平面平行判定定理即可得到平面平面。

解法二：（1）由题意可得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别与平面中两个相交向量相乘等于0，即可证明平面平面；

（2）由（1）可得平面的法向量，再求出平面的法向量，进而求得平面与平面所成的二面角的余弦值，由此求出。

解：（1）证法一：连接，设，连接，，

因为，所以，所以，

在中，因为，

所以，且平面，

故平面，

在中，因为，

所以，且，

所以，因为，

所以，所以是平行四边形，

所以，且平面，

所以平面，因为，所以平面平面.

证法二：因为，，，，，所以，

因为，平面，所以平面，

所以，，

取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得，，，，

所以，因为，

所以，

所以点的坐标为，

同理可求点的坐标为，

所以，，设为平面的法向量，

则，令，解得，，

所以，

因为，，

所以，且，

所以平面平面

（2） 为平面的法向量.

，

可求平面的一个法向量为

所以，

所以