Question

【题目】已知函数

（1）若存在正数，使恒成立，求实数的最大值；

（2）设，若没有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)1(2)

【解析】

（1）先对函数求导，再由导数研究出原函数的单调性，确定最大值，结合条件中的不等式，分离参数，得到关于的函数就，再利用导数求出的最大值；

（2）把的值代入，利用导数研究的单调区间，要使没有零点，则的最小值大于0，然后分类参数，即可求出实数的取值范围。

解：（1），

当时，，在上是增函数；

当时，在上是减函数，

故当时，函数取得极大值.

若对任意恒成立，

当且仅当，即成立.

设，则.

当时，是增函数；

当时，是减函数，

所以当时，取得极大值，即.

所以，即实数的最大值是.

（2），所以

，

设，则在上是增函数，

又，

所以在区间内存在唯一零点，即.

当时，，即；

当时，，即，所以在上是减函数，在 上是增函数，所以.

因为没有零点，所以，

即，

所以的取值范围是.