Question

6．已知点M（x，y）在圆（x-3）²+（y-$\sqrt{3}$）²=6上运动，求$\frac{y}{x+2}$的最大值．

Answer 1

分析 根据$\frac{y}{x+2}$的最大值是圆上的点与（-2，0）连线的斜率的最大值，设为k，即y=kx+2k，圆心（3，$\sqrt{3}$）到直线kx-y=0的距离等于$\sqrt{6}$，写出距离公式求出k的最大值．

解答 解：$\frac{y}{x+2}$表示动点（x，y）到定点（-2，0）的斜率知：
$\frac{y}{x+2}$的最大值是圆上的点与（-2，0）连线的斜率的最大值，设为k，即y=kx+2k
∵圆心（3，$\sqrt{3}$）到直线kx-y=0的距离等于$\sqrt{6}$，
∴$\frac{|5k-\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{6}$，
∴k=-5$\sqrt{3}$±6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{y}{x+2}$的最大值是-5$\sqrt{3}$+6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是利用数形结合的思想来解出斜率的值，本题是一个中档题目．