Question

(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD^底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF^PB交PB于点F，

 

(1)求证：PA//平面EDB；

(2)求证：PB^平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小。

 

Answer 1

【答案】

解：如右图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1。

 

 

 

(1)证明：连结AC, AC交BD于点G，连结EG.

依题意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0，，).

因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正

方形的中心，故点G的坐标为(，，0)，

且＝(1,0,-1)，＝(,0,- ).

所以＝2，即PA//EG.

而EGÌ平面EDB, 且PAË平面EDB,

因此PA//平面EDB.……………………4分

(2)证明：依题意得

B(1, 1, 0)，＝(1,1, -1)

又＝(0, , )，

故×＝0＋－＝0，所以PB^DE.

由已知EF^PB，且EF∩DE＝E，所以PB^平面EFD.………………8分

(3)解：已知PB^EF，由(2)可知PB^DF，故ÐEFD是二面角C-PB-D的平面角，设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x, y, z–1).

因为＝k，

所以(x, y, z-1)＝k(1, 1, -1)＝(k, k, -k)，即x＝k，y＝k，z＝1-k.

因为•＝0，

所以(1, 1, -1) • (k, k, 1-k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0.

所以k＝，点F的坐标为(,, ).

又点E的坐标为(0, , ).

所以＝(－，，–).

 

 

 

所以ÐEFD＝60°，即二面角C-PB-D的大小为60°。………………13分

【解析】略