Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值．

Answer 1

分析：P是定点，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可．要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，只需使CM⊥AB即可．所以作CM⊥AB，连接PM，此时的PM最短，在三角形ABC中，根据AB和cos∠BAC利用三角函数求出CM的长，然后在直角三角形PCM中，由PC和CM根据勾股定理即可求出PM的长．

解答：解：过C作CM⊥AB，连接PM，因为PC⊥AB，所以AB⊥平面PCM，
所以PM⊥AB，此时PM最短，
∵∠BAC=60°，AB=8，
∴AC=AB•cos60°=4．
∴CM=AC•sin60°=4•

3

2

=2

3

．
∴PM=

PC2+CM2

=

16+12

=2

7

．

点评：此题是一道综合题，要求学生掌握直线与平面垂直的条件与性质，会根据条件解直角三角形，灵活运用勾股定理求边长．解此题的关键是利用直线与平面垂直的性质和判定作出辅助线确定出最短的线段．