Question

1．（1）求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦点，且经过点（3$\sqrt{2}$，2）的双曲线的标准方程．
（2）已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）设所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{16-λ}$-$\frac{{y}^{2}}{4+λ}$=1，（-4＜λ＜16），利用待定系数法能求出双曲线方程．
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为$y=±\frac{b}{a}x$，圆心C（3，0），半径r=2，由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程．

解答 解：（1）∵双曲线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦点，
∴设所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{16-λ}$-$\frac{{y}^{2}}{4+λ}$=1，（-4＜λ＜16），
∵双曲线过点（$3\sqrt{2}$，2），∴$\frac{18}{16-λ}$+$\frac{4}{4+λ}$=1，
∴λ=4或λ=-14．（舍）
∴所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为$y=±\frac{b}{a}x$，
即一条渐近线方程为bx-ay=0，
∵圆C：x²+y²-6x+5=0可转化为（x-3）²+y²=4，
∴圆心C（3，0），半径r=2，∴c²=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=9}\\{\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}}\end{array}\right.$=2，解得a²=5，b²=4，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法和点到直线距离公式的合理运用．