Question

11．已知幂函数$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在区间（2，3）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-2m²+m+3＞0，且-2m²+m+3＞0为正偶数，由此求得m的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件利用对数函数的定义域和单调性、二次函数的单调性，从而求得a的范围．

解答 解：（1）∵$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$在（0，+∞）上单调递增，∴-2m²+m+3＞0，∴$-1＜m＜\frac{3}{2}$．
又m∈Z，m=0或m=1．
再根据f（x）为偶函数，可得-2m²+m+3为正偶数，故m=1，f（x）=x² ．
（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在（2，3）上为增函数，
而$g（x）={log_a}（{x^2}-ax）$由y=log_au和$u={x^{_2}}-ax$复合而成，
当0＜a＜1时，y=log_au减函数，故u=x²-ax 在（2，3）为增函数，故不满足条件．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}≤2}\\{4-2a≥0}\end{array}}\right.$，求得1＜a≤2．

点评 本题主要考查函数的单调性、奇偶性，复函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．