Question

如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.

（Ⅰ）求证：底面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为底面是菱形，,

所以为中点.                            

又因为,

         所以,                        

         所以底面.                          

（Ⅱ）由底面是菱形可得,

又由（Ⅰ）可知.

     如图，以为原点建立空间直角坐标系.

由是边长为2的等边三角形，，

可得.

     所以.   

     所以,.

     由已知可得        

     设平面的法向量为，则

     即

     令，则，所以.        

     因为，             

     所以直线与平面所成角的正弦值为，

     所以直线与平面所成角的大小为.     

（Ⅲ）设，则

. 

     若使∥平面，需且仅需且平面，

解得,                               

     所以在线段上存在一点，使得∥平面.

此时=.